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常微分方程与运动稳定性三篇.pptx

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常微分方程与运动稳定性三篇.pptx

1,第一章 奇点 第二章 相平面法 第三章 极限环,内 容,2,第五章 奇 点,第一节 常点与奇点 第二节 一次奇点 第三节 非线性项对奇点的影响,3,第一节 常点与奇点,研究二维方程组,5.1,反之,如 Xx0,y0, Yx0,y0 中至少有一个不等于零,则此点称为5.1的常点。,性质过常点有唯一解,但奇点处解至少不唯一,4,由于任何奇点都可借助坐标平移而将它化为原点,因而总认为原点是(5.1)的奇点。 在原点邻域内将 X, Y 展为泰劳级数,得,则此奇点称为一次奇点,反之称为高次奇点。,第二节 一次奇点,5,5.5,研究以下线性系统,6,1 q 0, 此时λ1,λ2异号,其解为 设λ1 0,λ2 0, 则其轨线在原点领域的分布情况如图所示,这样的奇点为鞍点。,根据特征根的各种可能情况,对奇点进行分类,p16,p17,p30,7,o,λ 1, λ 2 为 相异负实根,若λ2λ10,则积分曲线在原点与 x 轴相切,如图示。反之,若λ1λ20,则积分曲线在原点与 y 轴相切。 奇点称为稳定结点,对于q 0,p 0,λ1、λ2为相异正实根,积分曲线方向远离原点。 奇点为不稳定结点,p17,p20,p16,8,q0,p0,p2-4q0, v0,将5.5化为,5.10,其解为r r0 e -ut,θθ0 v t,相应的轨线如图 奇点为稳定焦点,q0, p0, p2-4q0λ1,λ2为共轭复根但实部为正 奇点为不稳定焦点,p17,p16,9,a 初等因子是简单。5.5可化为,5.12,(4)q0, p0, p2-4q0, λ1λ2为一对负重根。这又可分为两种情况;,b 初等因子是重的。5.5 可化为,p17,5.13,p16,10,所有轨线在原点均与轴相切,如图所示。 稳定退化结点,q 0, p0, p2-4q0λ1,λ2 一对正重根  不稳定临界结点和退化结点,p17,11,5 q0, p=0λ1=-λ2 =vi,为一对共轭纯虚根,其解为rr0,θθ0vt, 其轨线如图 ------奇点称为中心,12,奇点分类如下,q0, p0, p2-4q0, 两根相异负实根稳定结点; q0,p0,p2-4q0, 两根为相等负实根临界结点或退化结点。 q0,p0, 两根为相异正实根不稳定结点; q0,p0,p0,p0,p=0, 两根为共轭纯虚根中心.,13,汇,源,14,第三节 非线性项对奇点的影响,则原点(零解)若是A2的鞍点,正常结点、焦点,也是A1的鞍点,正常结点、焦点(解的结构相同),且稳定性保持不变;但A2的临界或退化结点,对A1 来说其结构可能发生变化。,15,定义2设O0, 0 为孤立奇点, 若点列 Anrn,θn,当n→∞时, rn→0 ,θn→θ0 ,且αn→0 ,αn为An点的方向场向量与向径夹角的正切,称θθ0为特征方向。 显然,若θθ0为固定方向,则必为特征方向,3.1 奇点的性质 定义1设 L 为轨线, 其上的点 Ar,θ,当r→0时,θ→θ0 (t→∞ ),称L沿固定方向进入奇点O0, 0.,鞍 点 0,/2, 3 /2, 结 点 0,/2, 3 /2, 焦 点 无 退化结点 /2, 3 /2 或 0, 临界结点任意方向,p7,p8,p9,p10,p11,16,定义3 轨线L与θθ0相交于P ,若P点向径与方向场夹角为 0 αp  ,则为正侧相交; αp 2 ,则为负侧相交。 /2 αp 3/2 ,则为正向相交;-/2 αp  /2,则为负向相交。,①正侧正向 ②正侧负向 ③负侧负向 ④负侧正向,17,定义4O为奇点,扇形域 由OA, AB与弧AB围城,称为正常区域, 上满足 除点O外没有其他奇点, OA, AB为无切线段; 任意点的向径与方向场向量不垂直; 最多包含一个特征方向, 但OA, AB不是特征方向.,结论 轨线L与OA 或OB 相交只能是同侧同向 即 0 ‾  或  ‾ 2 。因此有三类正常区域,I,II,III,18,结论 轨线L与OA 或OB 相交只能是同侧同向 即 0 ‾  或  ‾ 2 。因此有三类正常区域,引理若Δ为正常区域 I ,从 OA, AB与AB上出发的轨线都进入O(当t→∞时); 若Δ为正常区域 II , AB上有一点或一段闭弧,从其上出发的轨线都进入O(当t→∞时);,,若Δ为III , 有两种情况 1 没有轨线进入O; 2  POA或 AB POA时, OP上出发的轨线都进入O; PAB时, QOAAP, 从Q出发的轨线都进入O,19,其中F2,G2 是 x, y 二次以上的函数,且满足A3 。令 xrcosθ, yrsinθ,运算可得,A4,考虑结点为稳定时, 非奇异变换,将 A1 化为,1. 结点情况,p7,dθ/dt 0  θ 0, /2,  , 3 /2 ----特征方向,20,o,1,  2 – 微小量;∵λ2λ1 0  r  0  dr/dt  0.,①, ③--正常区域 II; ②, ④--正常区域 I,结论当1 → 0, ①, ③内只有一对轨线当t → ∞时沿y轴方向趋于原点;其余轨线则均沿x方向趋于原点。  原点为稳定结点。,p8,总之,若线性奇点为结点,加上非线性项之后仍为结点,并且稳定性保持不变。,p8,21,鞍点情况 两特征根均为实根设λ10,,22,鞍点情况 两特征根均为实根设λ10,,①, ③--正常区域 II t→∞ ②, ④--正常区域 II t→-∞,结论当ε→0, ①, ③内只有一对轨线沿y轴趋于原点当t→-∞时; ②, ④内只有一对轨线沿x轴趋于原点当t→∞时.  原点为鞍点,23,焦点与中心的情况,焦点情况与结点、鞍点相似线性部分为焦点时,加上非线性项仍为焦点且稳定性不变;,对于线性部分为中心的情况,加上非线性项后,可能依然为中心,但也可能变为(不)稳定焦点;,24,,,若满足 X-x, y Xx, y Y-x, y -Yx, y,,若满足 Xx, -y-Xx, y Yx, -y Yx, y,A1,25,能否给出判断稳定性的依据 ---问题实质如何确定奇点的性质与(A9)系数之间的关系。,按照线性部分特征根的不同情况进行讨论.,26,分为以下几个方面 两特征根为实根或共轭负根,此时奇点将为稳定或不稳定结点,焦点或不稳定鞍点; 两特征根为一对纯虚根,线性奇点为中心,加上高次项后,为中心或焦点; 两特征根一是零根,另一个正实根,奇点为不稳定; 两特征根一是零根,另一个负实根,这是所谓Lyapunov第一临界情况; 两特征根全为零根,又可分为两种情况 初等因子是简单的,化为齐次方程研究; 初等因子是非简单的,奇点为不稳定。,27,第一节 保守系统的基本性质 第二节 带有参数的保守系统 第三节 耗散系统 第四节 轨线的作图法,第六章 相平面法,28,,第一节 保守系统的基本性质,一、保守系统 ----能量(机械能)保持守恒的系统。 单自由度系统的运动微分方程,,,p32,由6.2., 系统的奇点为 y0,fx0 6.4,系统奇点(若有的话)分布在 x 轴上,29,由6.3,当 fx0, y≠0时,有 =0,即轨线切线水平。,由(6.3)求得积分曲线的方程,h 为常数----其力学意义为机械能守恒,6.5, 在 h –Vx≥0 的 x 区间内才有积分曲线, V’x0 fx00 ---系统奇点x0对应势能的极值,30,在奇点x0邻域内将Vx展开为泰劳级数取到二次项,6.7,V˝x00  Vx0 极小值 6.8 椭圆方程 奇点 x0 为中心; V˝x00 Vx0 极大值 6.8 双曲线方程, 故奇点为鞍点; V˝x00  Vx0 非极大极小 拐点, 此时, 若 V 3x0≠0, 积分曲线可近似表示为,p7,31,6.9,对应中心鞍点型奇点 一半中心,一半鞍点(高次奇点---线性部分的特征根出现零根)。 将6.2中的fx也在这一点邻域内展开,得,32,在一般情况下,对于Vn≠0,当n为偶数时V为极值,当n为奇数时V为拐点。积分曲线为较复杂的高次曲线,如图6.2所示 y0, x’0; y0, x’0,p28,33,方程中不含速度项,为保守系统机械能守恒; 方程中含有速度项,而速度项前的系数为常数或定号函数,为非保守系统; 方程中含有速度项,而速度项前的系数是变号函数,则不能确定是否保守系统。,34,第二节 带有参数的保守系统,35,fx, λ0, 在平面内为一曲线,如图6.4,,假定阴影区 fx, λ 0 可看出,当参数λ增大时,奇点数目随之变化。,fx, λ 0,,λ,36,由于Vxx” x, λ fx’x, ,因而在奇点x处 Vxx” x,  0 fx’x, 0时,V-极小  中心; Vxx” x,  0 fx’x,  0时,V-极大 鞍点; Vxx” x,  0,但Vxx”’ ≠0时 中心鞍点。,与不含参数的保守系统相同,37,,λ,沿 x增加方向看fx, 的变化,判断fx’x, 的符号,2 , 3 , 5 –分岔点 奇点数目变化,fx, λ 0,38,解 由质点的动量距定理,可得小球的运动微分方程为,例1. 一质量为m的小球,可沿一半径为 r 的大环滑动,此大环以匀角速度绕铅直轴而转动。设小球与大环之间无摩擦,试研究小球的运动.,6.17,39,曲线如图6.6 阴影区--- f φ,λ0。,平衡位置  0, φ0,  , 当|  | 1时; 0, φ0,  , cos-1 ,当||1时。,40,相平面内轨线的分布情况(φ-π  π ),,,,,,|λ|1,41,此时共有三个鞍点φ0,π与两个中心φcos-1λ; A,B分别为通过ω0,φ0与ω=0,φπ 的分界线,其方程为,6.20,42,耗散系统属于非保守系统,其运动微分方程通常可表示为,第三节 耗散系统,6.21,将 各项乘以 得,43,------由6.22知 y0时 gx, y0,因而耗散系统6.25的奇点分布,与和它对应的保守系统的奇点分布相同,但奇点的性质却可能改变中心变成焦、结点。,44,例2. 考虑阻尼作用单摆的运动。,耗散项,对应的保守系统为,共有三个平衡位置中心,鞍点,由于 ,故系统为耗散系统。,45,其中α0, gφ在[-π, π]上连续,且为2 π的周期函数,g0=0,g0’ ≠0,当φ≠0时φg φ0 ,gπ0。,显然,这是较例2更为一般情况,此时系统由三个奇点ω0,φ0,π,而且φ=0为稳定焦点或结点,φ=π为鞍点。,46,1 等倾线法,第四节 轨线作图法,6.27,令k等于一系列不同的数值,得出一系列等倾线,在每一等倾线上画出相应的dy/dx的方向,然后用欧拉折线法便可大致描出轨线的图形。,47,例,令,,,,48,49,直线CA的斜率为,它与6.35 dy/dx的乘积等于-1,因而6.35积分曲线在A点的切线方向应与CA垂直。,50,例4 受有干摩擦力与线性恢复力的振动系统,其运动微分方程为,为了应用Linard作图法,需使x的系数等于1。为此,作变换 ,即可将上式化为,,然后,利用Linard作图法,可以证明它的积分曲线为一系列半圆所组成,这些半圆在x轴上相连接,其圆心为 如图所示。,51,第七章 极限环,第一节 前 言 第二节 极限环的存在性 第三节 极限环的唯一性 第四节 极限环的稳定性 第五节 判断极限环不存在的定理,,52,第一节 前 言,对于微分方程的积分曲线而言,它存在一条孤立的单闭曲线,而在其领域内的其他积分曲线,均以螺旋线形式向该闭曲线无限逼近,则这条闭曲线称为极限环。力学意义孤立周期解,53,由此可见,r0即xy0是一个奇点; 而r1即x2y21是一个周期解.而其它积分曲线都是螺线,即当t→∞时θ→∞. 对于r1,有,故r单调减少而趋于1;,因而闭曲线 x2y21 是稳定的极限环,7.2,54,例2,7.3,其积分曲线形状见图;  单闭曲线x2y21是不稳定极限环。,55,对于,,,,,,,,,,其积分曲线形状见图。  单闭曲线是半稳定极限环 即一侧不稳定另一侧不稳定,解的稳定性(Liapunov) 轨道稳定性,56,图7.4,环域定理 设在x-y平面上有两个单闭曲线C1及C2在C1内部。并满足下面两个条件图7.4,1 C1上之点的矢量场由C1的外部指向内部, C2上之点的矢量场由C2的内部指向外部;,2 C1及C2所围成的环行区域内无奇点; 则在该环域内至少存在一个稳定极限环C C1  C  C2,第二节 极限环的存在性 ( Poincar-Bendixson环域定理),,C1,一个C 稳定; 二个C 一个稳定,一个半稳定; 三个C 中间稳,两边半稳;或中间不稳,两边半稳,57,7.7,以van der Pol方程为例说明环域定理的应用。方程的形式为,7.8,58,或,7.11,可见,它与6.35完全相同,所以其轨线方向可以用Linard作图法求出。,先在相平面上做出曲线 x - y,59,为应用环域定理证明van der Pol方程存在稳定的极限环, 先做环域的内境界线Γ2,由此得,如果取r2充分小,可使y23,从而有,这表明7.10的轨线均由Γ2的内部穿向外,如图7.5所示。,60,图7.5,下页,下下页,61,,上页,只证明一个不等式Γ2--原点对称,62,C2D2圆弧半径,----只要|y|足够大,总可以满足,,用Linard作图法容易得出,在Γ1上的轨线均是自外部指向内部。又7.10只有唯一的奇点--原点,因而Γ2,Γ2构成的环域内无奇点vdP方程在该环域内至少存在一个稳定极限环。,上页,63,定理1. 7.12有唯一的稳定极限环,若满足,g-x-gx,当x≠0时xgx0,2 对一切x ,f 及 g 连续,且g满足Lipschicz条件,4 在x正半轴上F有唯一的零点 xa 当0a时Fx单调增加。,64,7.13,2首先证7.13对一切x,y满足Lipschitz条件,事实上,对|x|A,|y|A,由于f连续,故有上界m。 如此由中值定理得,又由条件2知,,65,这里取kmn1。上式表明7.13的确满足Lipshitz 条件,因此它的解存在且唯一。,此外,由于y-Fx0与gx0只有一个解x0,y0,故原点是7.13的唯一奇点。,,66,根据g, F的性质,可知当0 0, 故原点不稳定.,67,由此,在y轴上轨线具有平行于x轴的切线,而在曲线LyFx上,轨线具有平行于y轴的切线。,5设轨线 lb 与曲线 L 相交于B点,以 b表示B点的横坐标。由于在0≤x≤b内有,故当t减少时lb之值将增加而进入曲线L的上方,从而同时有,68,,,,,,,,,,x,y,A,D,P,B,L yFx,b,Q,K,M,a,C,E,O,图7.6,69,这表明当t减少时x也减少。综上所述可知当t减少时,由B出发之轨线lb必与y轴的正半轴相交,否则将在y轴附近出现无限大斜率与在y轴轨线具有水平切线相矛盾。设上述交点为A。同理可证当t增加时lb必与y轴的负半轴相交设相交点为C参看图7.6。,6现证|OA||OC|是lb为闭轨的充要条件。事实上以-x,-y代x,y方程7.13不变,故其积分曲线对原点对称。因此,如|OA||OC|,则lb必闭,反之,如lb为必轨但却有|OA|≠|OC|则由于积分曲线对原点对称性,故必存在另一闭轨lb’,且lb’ 与lb必相交,而这与7.13解的唯一性相矛盾。由此可见,如为闭轨,则必有|OA||OC|。,70,71,则,由7.17知当dVFdy。当x0与dya时F0与dy0,因而Ф2b0。现进而研究当b改变时Фb的变化情况。当b增大时AD上升而EC下降,因而对于同一的x值而言,其|y|之值将增大。,72,又,对于弧AD 而言,y-Fx0,故 y 增加时将使 |y-Fx|增加,,对于弧AC 而言,y-Fx0,故 y 增加时也将使|y-Fx|增加,,又 -Fxgx0 由此得出结证,对于同一x而言,当|y|之值增大时, dV之值将减小,注意到当b增大时对Ф1b的积分限是不变的,因而当bФ1b增加时,将减小。,73,可见,|Ф2b|是B*D*E*与Y轴之间的面积,当b增加时这个面积增大并注意到|Ф2b|0,因而当b增加时Ф2b将减小。,为了研究Ф2b的改变情况,我们作变换XFx,Yy则它是DE右方的一个单值变换,在此变换下a变为新坐标系的原点,y-Fx0曲线变为直线Y-X0, BDE弧变为B*D*E*, 图7.7,而Ф2b变为,综上所述,可知当b≥a时ФbФ1bФ2b是b的单调下降函数。,74,|Ф2b|,由上述可知,当b由a变到∞时,Фb由有限的正数单调减小到-∞,因而必有且仅有一点bb0,使Фb0VC0-VA00,这表明7.13必有且只有一闭轨存在极限环的存在与唯一性。,75,9当时b0,由此得|yC||yA|,可见,lb0两侧的轨线当t→∞时均以螺旋形状向lb0无限逼近,正如图7.8所示那样就证明了lb0是稳定的。,O,76,第四节 极限环的稳定性,此外,设7.19右端的X,Y在G上有连续一阶偏导数,77,对上述极限环的稳定性,有下面的判别定理,,,,y,x,,,,,,Ak,Bk,78,第五节 极限环不存在定理,定理3Poincar 设 Fx,yC 为一曲线族,F在域G上有一阶连续偏导数,并且,79,证 用反证法。设7.19在G内有闭轨l,设D是l所包围的区域,由Green公式得,

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