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马克思劳动价值论的几个相关数学原理.doc

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马克思劳动价值论的几个相关数学原理.doc

马 克 思 劳 动 价 值 论 的 数 学 原 理内 容 摘 要 根 据 马 克 思 的 劳 动 价 值 理 论 , 明 确 提 出 了 价 值 函 数 的 基 本 假 定 和 基 本公 式 ; 在 此 基 础 上 , 通 过 引 入 短 期 和 长 期 生 产 函 数 , 推 导 出 相 应 的 短 期 和 长 期 价 值 函 数 ;并 借 助 短 期 和 长 期 价 值 函 数 , 具 体 分 析 了 商 品 价 值 量 在 短 期 和 长 期 中 的 变 化 规 律 , 特 别是 详 细 讨 论 了 劳 动 变 化 、 资 本 变 化 、 劳 动 和 资 本 同 时 变 化 、 劳 动 和 资 本 同 时 和 同 比 例 变化 以 及 生 产 函 数 变 化 对 价 值 量 的 影 响 。关 键 词 马 克 思 劳 动 价 值 论 短 期 价 值 函 数 长 期 价 值 函 数一 、 价 值 函 数 的 基 本 假 定 和 基 本 公 式设 某 一 行 业 在 生 产 过 程 中 使 用 的 必 要 劳 动 ( 简 称 “劳 动 ”) 为 , 生 产 资 料 ( 简 称L“资 本 ”) 为 , 生 产 的 产 量 为 。 这 里 , “资 本 ”一 词 指 的 是 “物 质 资 本 ”, 包 括KQ原 材 料 和 生 产 工 具 ( 如 机 器 、 设 备 和 厂 房 等 等 ) 。 它 在 物 质 形 态 上 相 当 于 马 克 思 所 说的 “不 变 资 本 ”。 由 于 生 产 过 程 中 的 消 耗 , 生 产 资 料 的 价 值 或 部 分 价 值 会 转 移 到 产 品中 去 。 一 般 来 说 , 原 材 料 是 完 全 消 耗 掉 的 , 其 价 值 会 全 部 转 移 ; 生 产 工 具 则 只 是 部 分地 消 耗 掉 , 其 价 值 只 是 部 分 地 转 移 。 转 移 价 值 的 数 量 通 常 随 产 量 的 增 加 而 增 加 。 为 简单 起 见 , 假 定 它 们 成 正 比 。 1 于 是 , 该 行 业 所 生 产 的 全 部 产 品 的 价 值 总 量 ( 用 表 示 2)Z可 以 写 为 1.cQLZ0c其 中 , 代 表 生 产 过 程 中 新 创 造 的 价 值 部 分 , 代 表 从 所 消 耗 的 生 产 资 料 中 转 移 过 来Q的 价 值 部 分 。 1.式 可 以 看 成 是 马 克 思 劳 动 价 值 理 论 的 基 本 假 定 。 根 据 该 假 定 , 一 个 行 业所 生 产 的 全 部 商 品 的 价 值 总 量 等 于 该 行 业 使 用 的 必 要 劳 动 量 加 上 消 耗 掉 的 生 产 资 料 价 值 。如 果 在 1.式 的 等 号 两 边 同 时 除 以 该 行 业 的 商 品 总 量 , 则 可 以 得 到 表 示 单 位 商 品 价 值( 简 称 “价 值 ”, 用 表 示 ) 的 公 式 z2.cQLZz2.式 的 价 值 函 数 可 以 看 成 是 马 克 思 劳 动 价 值 理 论 关 于 价 值 决 定 的 基 本 公 式 。 它 表 示 每一 商 品 中 包 含 的 价 值 量 也 由 两 个 部 分 组 成 , 即 平 均 的 新 价 值 量 和 平 均 的 转 移 价 值QL/量 。/ c进 一 步 来 看 , 由 于 在 2.式 中 , 为 常 数 , 故 它 的 存 在 和 大 小 只 影 响 价 值 函 数 的 位 置c高 低 , 而 不 会 影 响 价 值 函 数 的 形 状 ( 如 倾 斜 方 向 和 凹 凸 方 向 等 ) , 从 而 不 会 影 响 基 本 的分 析 结 果 。 实 际 上 , 即 使 不 是 常 数 , 而 是 或 的 函 数 , 它 也 不 会 影 响 商 品 中 新 创 造cQL的 价 值 部 分 。 因 此 , 当 我 们 着 重 分 析 价 值 与 劳 动 之 间 的 关 系 时 , 可 以 对 它 略 而 不 论 。 正如 马 克 思 所 说 “如 果 仅 仅 就 价 值 创 造 和 价 值 变 化 本 身 进 行 考 察 , 也 就 是 说 , 进 行 纯 粹的 考 察 , 那 末 生 产 资 料 , 这 些 不 变 资 本 的 物 质 形 态 , 就 只 是 提 供 一 种 物 质 , 使 流 动 的 、形 成 价 值 的 力 得 以 固 定 在 上 面 。 ”[1]241“可 见 , 要 对 这 个 过 程 进 行 纯 粹 的 分 析 , 必 须把 产 品 价 值 中 只 是 不 变 资 本 价 值 的 再 现 的 那 一 部 分 完 全 抽 去 , 就 是 说 , 必 须 使 不 变 资 本。 ”[1]240 这 样 , 2.式 就 可 以 简 化 为 [2]c3.QLz下 面 以 简 化 的 价 值 决 定 基 本 公 式 3.为 基 础 , 通 过 引 入 短 期 和 长 期 的 生 产 函 数 , 推导 短 期 和 长 期 价 值 函 数 , 并 由 此 讨 论 商 品 价 值 量 在 短 期 和 长 期 中 的 变 化 规 律 。二 、 短 期 价 值 函 数 及 变 化 规 律假 定 在 短 期 中 , 除 了 劳 动 要 素 可 变 之 外 , 所 有 其 他 的 投 入 要 素 均 保 持 不 变 。 在 这 种情 况 下 , 短 期 生 产 函 数 可 以 写 为 如 下 的 “一 元 ”形 式 4.LQ将 其 代 入 简 化 的 价 值 决 定 基 本 公 式 3., 即 得 相 应 的 短 期 价 值 函 数 5.z在 短 期 中 , 价 值 量 随 劳 动 量 的 变 化 而 变 化 的 具 体 情 况 取 决 于 短 期 生 产 函 数 的 性 质 。典 型 的 短 期 生 产 函 数 具 有 如 图 1 所 示 的 形 状 它 从 原 点 开 始 ; 先 递 增 上 升 当时 。 这 是 “边 际 报 酬 递 增 ”的 第 一 阶 段 ; 然 后 递 减 上 升 当 时0L 20L( 是 使 短 期 生 产 函 数 的 一 阶 导 数 等 于 0 的 点 ) 。 这 是 “边 际 报 酬 递 减 ”( 但 仍 然 大2于 0) 的 第 二 阶 段 ; 最 后 下 降 当 时 。 这 是 被 称 为 “非 经 济 区 域 ”的 第 三 阶 段 。2L根 据 图 1 中 的 短 期 生 产 函 数 的 特 点 , 容 易 确 定 相 应 的 短 期 价 值 函 数 的 性 质 。 参 见 图2。 首 先 来 看 短 期 价 值 函 数 的 “左 端 点 ”( 与 纵 轴 的 交 点 ) 。 由 于 当 时 ,0L, 故 短 期 价 值 函 数 在 时 是 型 的 “不 定 式 ”。 由 洛 比 达 法 则 可 知 0LQ0LlimQLz 0Q这 里 , 我 们 假 定 , 即 在 “原 点 ”处 , 短 期 生 产 函 数 是 “上 升 ”的 。 于 是 , 短 期价 值 函 数 在 左 端 点 处 的 值 为 。0/1z从 左 端 点 开 始 , 短 期 价 值 函 数 的 变 化 规 律 是 先 下 降 后 上 升 。 为 了 说 明 这 一 点 , 我 们来 看 价 值 对 劳 动 的 一 阶 导 数 zL6.dLQdd22/这 里 , 为 平 均 产 出 , 为 边 际 产 出 。/由 6.式 显 而 易 见 , 的 符 号 从 而 随 的 变 化 而 变 化 的 方 向 完 全 取 决 于 平 均 产z/z出 和 边 际 产 出 的 相 对 大 小 当 平 均 产 出 小 于 、 等 于 和 大 于 边 际 产 出 时 , 价LQ/dLQ/值 随 劳 动 的 增 加 而 下 降 、 不 变 和 上 升 。图 1 短 期 生 产 函 数图 2 短 期 价 值 函 数从 几 何 上 看 , 在 生 产 函 数 曲 线 上 的 任 意 一 点 处 , 平 均 产 出 等 于 该 点 到 原 点 的 “连线 ”的 斜 率 , 边 际 产 出 等 于 该 点 的 “切 线 ”的 斜 率 。 在 图 1 中 显 而 易 见 , 当 时 ,1L平 均 产 出 总 小 于 边 际 产 出 , 故 是 下 降 的 ; 当 时 , 平 均 产 出 总 大 于 边 际 产 出 , 故zL是 上 升 的 ; 最 后 , 当 时 , 平 均 产 出 恰 好 等 于 边 际 产 出 。 于 是 , 达 到 最 小 值 。z1L z由 此 可 见 , 当 短 期 生 产 函 数 如 图 1 所 示 时 , 随 着 劳 动 的 增 加 , 价 值 将 先 下 降 然 后 上 升 。换 句 话 说 , 短 期 价 值 函 数 是 一 条 型 曲 线 。zU以 上 是 用 平 均 产 出 和 边 际 产 出 的 相 对 大 小 来 说 明 短 期 价 值 函 数 的 变 化 规 律 。 进 一 步0/1Q 2L/1L 1OLzz/20L21OLLQ来 看 , 由 平 均 产 出 等 于 边 际 产 出 , 即 , 可 以 解 得 。 设 满 足 该 式dLQ//QL/的 劳 动 量 为 , 则 为 短 期 价 值 函 数 的 临 界 点 ( 即 是 使 短 期 价 值 函 数 的 一 阶 导 数 等 于1L0 的 点 ) 。 容 易 看 出 , 在 处 , 短 期 价 值 函 数 取 得 极 小 值 这 是 因 为 , 当1时 , 有 和 , 从 而Q/0Q0232 LdLz这 样 , 在 短 期 中 , 价 值 随 劳 动 的 变 化 而 变 化 的 规 律 又 可 以 表 述 为 当 小 于 、 等 于 和 大L于 时 , 价 值 随 劳 动 的 增 加 而 下 降 、 不 变 和 增 加 。/将 临 界 点 代 入 短 期 价 值 函 数 5.可 求 得 极 小 值 ( 用 表 示 ) 为 / 1z111LQLQz 这 里 , 是 生 产 函 数 在 短 期 价 值 函 数 的 临 界 点 处 的 一 阶 导 数 值 。 z1L至 于 短 期 生 产 函 数 第 二 阶 段 和 第 三 阶 段 的 分 界 点 ( 或 经 济 区 域 和 非 经 济 区 域 的 分 界点 ) , 反 映 在 短 期 价 值 函 数 中 并 没 有 什 么 特 殊 的 地 方 。 例 如 , 当 时 , 由 于2, 故 有0L012Qdz由 此 可 知 , 当 等 于 ( 以 及 大 于 ) 时 , 短 期 价 值 函 数 是 继 续 上 升 的 。 将 上 式 代 入 短 期2L价 值 函 数 5.后 得 dLz这 就 是 短 期 价 值 函 数 在 生 产 函 数 临 界 点 处 的 值 。 该 值 也 可 以 按 照 短 期 价 值 函 数 的 公2式 5.表 示 为 。 其 中 , 是 的 极 大 值 。/2QzLQ上 述 短 期 中 价 值 随 劳 动 变 化 而 变 化 的 规 律 可 以 总 结 如 下 在 短 期 价 值 函 数 的 左 边 界 处 , 即 当 时 , ; 从 左 边 界 开 始 ,z00/1Qz随 着 的 增 加 , 先 是 趋 于 下 降 , 当 增 加 到 时 , 下 降 到 极 小 值 ,L /1 /1L然 后 , 再 随 着 的 增 加 而 上 升 ; 特 别 是 , 当 增 加 到 等 于 和 大 于 ( 即 使 生 产 函 数 达L2L到 极 大 的 临 界 点 ) 之 后 , 短 期 价 值 函 数 仍 然 继 续 上 升 。 总 而 言 之 , 短 期 价 值 函 数 是 一 条从 某 个 大 于 0 的 值 开 始 、 先 下 降 然 后 上 升 的 型 曲 线 。U现 在 来 看 劳 动 生 产 力 的 变 化 对 商 品 价 值 量 的 影 响 。 为 明 确 包 括 劳 动 生 产 力 变 化 或 技术 进 步 的 影 响 , 我 们 把 生 产 函 数 4.改 写 为 如 下 形 式 LAfQ这 里 , 是 一 个 反 映 技 术 进 步 的 参 数 。 如 果 在 某 一 时 期 内 , 增 加 了 , 则 表 示 在0  A该 时 期 内 , 劳 动 生 产 力 有 了 提 高 。相 应 的 , 短 期 价 值 函 数 5.可 以 写 为 LAfz于 是 有 02fd它 表 示 在 短 期 中 , 随 着 劳 动 生 产 力 的 提 高 , 商 品 的 价 值 量 将 趋 于 下 降 。三 、 长 期 价 值 函 数 及 变 化 规 律长 期 生 产 函 数 总 是 “多 元 ”的 尽 管 多 元 的 生 产 函 数 并 不 一 定 代 表 长 期 。 最 简 单的 多 元 生 产 函 数 当 然 是 形 如7.,KLQ的 二 元 生 产 函 数 。 3 与 过 去 一 样 , 这 里 的 代 表 劳 动 , 代 表 资 本 。 也 可 以 把LK看 成 不 同 于 劳 动 的 其 他 任 何 一 种 投 入 要 素 。 为 了 保 证 该 生 产 函 数 在 经 济 上 有 意 义 , 不仅 需 要 假 定 劳 动 的 边 际 产 出 大 于 0, 而 且 还 要 假 定 资 本 的 边 际 产 出 也 大 于 0。 用 符 号 表示 就 是 、 。 换 句 话 说 , 在 劳 动 和 资 本 的 边 际 产 出 中 , 只 要 有 一0/L/K个 小 于 0, 生 产 就 处 于 非 经 济 区 域 。 为 明 确 起 见 , 下 面 的 讨 论 都 局 限 在 经 济 区 域 之 内 。将 7.式 的 长 期 生 产 函 数 代 入 简 化 的 价 值 决 定 基 本 公 式 3., 即 得 到 相 应 的 长 期 价 值函 数 8.,KLQz根 据 长 期 价 值 函 数 , 可 以 讨 论 劳 动 变 化 、 资 本 变 化 、 劳 动 和 资 本 同 时 变 化 、 劳 动 和 资 本同 时 和 同 比 例 变 化 以 及 长 期 生 产 函 数 变 化 等 对 价 值 量 的 影 响 。1. 劳 动 变 化 对 商 品 价 值 量 的 影 响首 先 来 看 长 期 中 价 值 与 劳 动 的 关 系 。 为 此 , 我 们 来 求 对 的 偏 导 数 zLLQQLLz22/除 了 生 产 函 数 是 长 期 ( 从 而 多 元 ) 的 以 及 使 用 的 是 偏 导 数 的 符 号 之 外 , 上 式 与 短 期 中 的相 应 公 式 6.完 全 一 致 。 因 此 , 和 短 期 一 样 , 在 长 期 中 , 随 变 化 而 变 化 的 情 况 也 取z决 于 劳 动 的 平 均 产 出 和 边 际 产 出 的 相 对 大 小 。 由 于 在 假 定 其 他 条 件 不 变 时 , 随 着 劳 动 的增 加 , 劳 动 的 平 均 产 出 总 是 先 小 于 、 后 大 于 相 应 的 边 际 产 出 , 故 随 着 劳 动 的 增 加 , 商 品的 价 值 总 是 先 下 降 、 后 上 升 。2. 资 本 变 化 对 商 品 价 值 量 的 影 响在 长 期 价 值 函 数 中 , 资 本 变 化 对 商 品 价 值 量 的 影 响 取 决 于 对 的 偏 导 数 zK2/QKLz由 于 在 经 济 区 域 内 总 大 于 0, 故 总 小 于 0。 这 意 味 着 , 假 定 其 他 条 件 不 变 ,Kz/当 资 本 的 边 际 产 出 大 于 0、 从 而 生 产 处 于 经 济 区 域 内 时 , 商 品 的 价 值 总 是 随 资 本 的 增 加而 下 降 。 换 句 话 说 , 价 值 的 变 化 方 向 与 “资 本 的 有 机 构 成 ”正 好 相 反 。进 一 步 来 看 , 和 劳 动 的 边 际 产 出 一 样 , 对 于 一 个 典 型 的 长 期 生 产 函 数 来 说 , 资 本 的边 际 产 出 也 具 有 “先 上 升 、 后 下 降 ”的 特 点 。 在 这 种 情 况 下 , 随 变 化 而 变 化 的 规zK律 可 以 更 加 具 体 地 表 示 为 假 定 其 他 条 件 不 变 , 商 品 的 价 值 量 随 资 本 的 增 加 先 递 增 下 降 、然 后 递 减 下 降 。3. 劳 动 和 资 本 的 同 时 变 化 对 商 品 价 值 量 的 影 响根 据 前 面 的 分 析 知 道 在 假 定 资 本 不 变 而 单 独 考 察 劳 动 变 化 的 影 响 时 , 长 期 价 值 函数 是 先 下 降 后 上 升 在 劳 动 的 平 均 产 出 小 于 边 际 产 出 时 下 降 、 在 劳 动 的 平 均 产 出 大于 边 际 产 出 时 上 升 ; 另 一 方 面 , 在 假 定 劳 动 不 变 而 单 独 考 察 资 本 变 化 的 影 响 时 , 长 期 价值 函 数 则 始 终 下 降 。 因 此 , 如 果 在 让 劳 动 变 化 的 同 时 让 资 本 也 变 化 , 并 在 此 基 础 上 考 察价 值 的 变 化 , 则 可 以 得 到 如 下 的 结 论 劳 动 和 资 本 的 同 时 增 加 在 劳 动 的 平 均 产 出 小 于边 际 产 出 时 会 进 一 步 加 强 长 期 价 值 函 数 原 有 的 下 降 趋 势 , 在 劳 动 的 平 均 产 出 等 于 边 际产 出 时 则 使 原 来 保 持 不 变 的 长 期 价 值 函 数 转 而 下 降 , 在 劳 动 的 平 均 产 出 大 于 边 际 产 出时 将 减 弱 或 抵 消 长 期 价 值 函 数 原 有 的 上 升 趋 势 。上 述 结 果 可 以 借 助 “全 微 分 ”的 概 念 进 行 更 加 严 格 的 讨 论 。 长 期 价 值 函 数 8.的 全微 分 为 dKQLdQLKzdz22// 2这 里 , 表 示 由 于 和 同 时 变 化 而 引 起 的 的 变 化 ; 第 一 及 第 二 个 等 号 右 边 的 两 项z z分 别 是 劳 动 变 化 和 资 本 变 化 对 的 影 响 ; 的 符 号 ( 亦 即 的 变 化 方 向 ) 则 可z通 过 比 较 最 后 一 个 等 号 右 边 括 号 中 的 两 项 的 符 号 和 相 对 大 小 来 判 断 当时 , 由 于 和 对 的 影 响 都 是 负 的 , 故 此 时 长 期 价 值 函 数 将 随 劳 动L// dKz和 资 本 的 同 时 增 加 而 下 降 ; 当 时 , 由 于 对 的 影 响 等 于 0 而 对LQ// dzdK的 影 响 小 于 0, 故 此 时 长 期 价 值 函 数 随 劳 动 和 资 本 的 同 时 增 加 仍 然 下 降 ; 最 后 , 当z时 , 由 于 和 对 的 影 响 正 好 相 反 前 者 为 正 、 后 者 为 负 故Q// dz此 时 长 期 价 值 函 数 的 变 化 方 向 取 决 于 两 种 影 响 的 绝 对 大 小 当 劳 动 增 加 的 影 响 大 于 资 本增 加 的 影 响 时 , 长 期 价 值 函 数 上 升 , 否 则 下 降 。4. 规 模 变 化 对 商 品 价 值 量 的 影 响在 劳 动 和 资 本 的 同 时 变 化 中 , 有 一 种 特 殊 情 况 尤 其 值 得 讨 论 。 这 就 是 劳 动 和 资 本 的同 时 和 同 比 例 变 化 , 或 者 说 , “规 模 ”变 化 。 在 生 产 规 模 发 生 变 化 的 情 况 下 , 商 品 的 价值 会 如 何 变 化 呢 如 果 生 产 函 数 是 所 谓 “齐 次 ”的 , 可 以 得 到 明 确 的 结 果 。设 长 期 生 产 函 数 是 “ 次 齐 次 ”的 , 即 满 足r,,KLQttr的 大 小 决 定 了 规 模 报 酬 的 性 质 。 大 于 、 等 于 和 小 于 1 分 别 表 示 规 模 报 酬 递 增 、 不 变r和 递 减 。当 长 期 生 产 函 数 具 有 上 述 性 质 时 , 相 应 的 长 期 价 值 函 数 可 以 写 为 ,,1KLQttLzr由 此 可 见 , 如 果 长 期 生 产 函 数 的 规 模 报 酬 是 递 增 的 , 即 , 则 长 期 价 值 函 数 随 生 产1r规 模 的 扩 大 而 下 降 , 反 之 , 如 果 长 期 生 产 函 数 的 规 模 报 酬 是 递 减 的 , 即 , 则 长 期1r价 值 函 数 随 生 产 规 模 的 扩 大 而 上 升 , 最 后 , 如 果 长 期 生 产 函 数 的 规 模 报 酬 是 不 变 的 , 即, 则 长 期 价 值 函 数 不 随 生 产 规 模 的 变 化 而 变 化 。1r典 型 的 长 期 生 产 函 数 在 规 模 报 酬 方 面 通 常 是 “先 递 增 、 再 不 变 、 最 后 递 减 ”。 因此 , 典 型 的 长 期 价 值 函 数 的 特 点 应 当 是 它 随 生 产 规 模 的 扩 大 先 下 降 , 再 不 变 , 最 后 上升 。 换 句 话 说 , 基 于 典 型 长 期 生 产 函 数 推 导 出 来 的 长 期 价 值 函 数 是 一 条 型 曲 线 。U5. 生 产 函 数 变 化 对 商 品 价 值 量 的 影 响如 前 所 说 , 在 短 期 的 一 元 生 产 函 数 场 合 , 随 着 生 产 函 数 的 增 加 , 或 者 , 劳 动 生 产 力的 提 高 , 商 品 的 价 值 量 将 下 降 。 这 个 “反 方 向 变 化 ”的 性 质 在 长 期 的 多 元 生 产 函 数 场 合同 样 存 在 。 为 了 说 明 这 一 点 , 我 们 把 长 期 生 产 函 数 7.改 写 为 ,KLAfQ和 以 前 一 样 , 这 里 的 是 表 示 技 术 进 步 的 指 标 。 相 应 的 , 长 期 价 值 函 数 8.可 写 为 0 Lfz,于 是 有 0,2KfA这 样 , 我 们 可 以 更 加 正 式 地 把 长 期 价 值 函 数 与 生 产 函 数 之 间 的 “反 方 向 变 化 ”的 关 系表 述 为 如 果 假 定 长 期 生 产 函 数 上 升 即 当 劳 动 和 资 本 的 数 量 均 不 变 时 , 产 品 数 量 由 于 技术 水 平 的 提 高 而 增 加 则 单 位 商 品 的 价 值 量 将 下 降 。注 释 1 考 虑 非 线 性 的 转 移 价 值 会 使 讨 论 变 得 更 加 复 杂 , 但 不 会 改 变 本 文 的 基 本 结 论 。2 代 表 价 值 ( value) 的 最 “自 然 ”的 符 号 当 然 是 “ ”。 但 是 , 从 马 克 思 的 资 本 论 v开 始 , 在 马 克 思 主 义 的 政 治 经 济 学 文 献 中 , 总 是 被 用 来 表 示 “可 变 资 本 ”。 为 了 避 免混 淆 , 本 文 用 代 表 总 的 价 值 量 , 用 代 表 单 位 商 品 的 价 值 量 。Zz3 讨 论 二 元 生 产 函 数 所 得 的 结 论 可 以 直 接 推 广 到 更 多 元 的 情 况 中 去 。主 要 参 考 文 献 [1] 马 克 思 .资 本 论 ( 第 一 卷 ) [M].北 京 人 民 出 版 社 , 1975.[2] 李 仁 君 .马 克 思 价 值 决 定 的 基 本 命 题 分 析 [J].海 南 大 学 学 报 , 2001( 3) .

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